2022.04.04

数学パズル!4つの「4」と四則演算で1,2,3,4…をどう表す?

4月4日に楽しむ「4」の話

「4」にまつわる4つの話題

4月──。今年も桜の季節になりました。

春夏秋冬の「四」季、東西南北の「四」方、加減乗除の「四」則……。「4」にまつわる言葉はたくさんあります。

4月4日の今日は、「4づくし」とまいりましょう。「4」にまつわる4つの話題を紹介します。

最初の話題は、「数を表す英語」についてです。

「4」を英語で表すと「four」ですね。アルファベットで4文字です。

そこで、次のようなことを考えてみましょう。

数を表す英語の、アルファベットの文字数を英語で表します。このことを繰り返すとどうなるでしょうか。

たとえば、「1」を表す「one」はアルファベットで3文字です。そこで、「3」を英語で表すと「three」です。「three」は5文字なので、こんどは「5」を英語で表すと「five」です。「five」は4文字なので、「4」を英語で表して「four」になります。

また、「eleven」は6文字なので、「6」を英語で表すと「six」です。「six」は3文字なので、「3」を英語で表すと「three」です。以下、上と同様にして、「three⇨five⇨four」となります。

じつは、どの数から始めても、最後は必ず「four」に到達します。本当でしょうか? 直感的には納得しにくいと思いますので、みなさんもぜひ、他の数で考えてみてください。

【イラスト】どんな数も4に?みなさんも、やってみてください illustration by gettyimages

「ドゥッチ数列」とは?

2つめの話題は、「ドゥッチ数列」とよばれている4つの数の組に関するものです。

4つの0以上の整数の組を考えて、隣り合う数の差をとります。両端の数を隣り合うと考えると、新しい4つの数の組ができます。

この操作を繰り返すとどうなるでしょうか。

たとえば、(9,7,5,2)から始めると、隣り合う数の大きいほうから小さいほうを引いて、

9-7=2,7-5=2,5-2=3,9-2=7

だから、(2,2,3,7)が得られます。この操作を繰り返すと、

(9,7,5,2)⇨(2,2,3,7)⇨(0,1,4,5)⇨(1,3,1,5)

⇨(2,2,4,4)⇨(0,2,0,2)⇨(2,2,2,2)⇨(0,0,0,0)

となります。なんと、「0」が4つ並びました。

じつは、どの4つの0以上の整数の組から始めても、最後は4つの0の組(0,0,0,0)に到達します。

なぜこのようなことが起こるのでしょうか?

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