2022.02.22
# 数式 # 関数

半分に折ったり対角線を測ったり…コピー用紙にひそむ不思議な数学!

2月22日に考える「√2」の話
西来路 文朗,清水 健一 プロフィール

109度28分の正体は?

数学的な謎解きをする前に、自然界に存在するこの角度の例をもう少し見ておきましょう。

蜂の巣の他にも、ダイヤモンドの結晶やメタンの分子の中に109度28分という角度が存在します。ダイヤモンドは炭素原子(C)からできています。ダイヤモンドの結晶は、正4面体の4つの頂点と中心の位置に炭素原子を配置した構造が周期的につながったものと見ることができます。

他方、メタンの分子は、正4面体の4つの頂点に水素原子(H)が、中心に炭素原子が配置された構造になっています。

【図】ダイヤモンドの結晶やメタンの分子

これらの正4面体構造の中心と2つの頂点を結んでできる角が、109度28分になっています。そして、正4面体の中心は、ちょうど4つの頂点からの距離の和が最小になる位置になっています。

じつは、この109度28分という角度は、数学的に正確にいうと、cosθ=-1/3を満たすθです。短辺と長辺の長さの比が1:√2の比の長方形に内接するひし形の大きいほうの角や正4面体の中央と頂点のなす角の大きさをθとしたとき、cosθ=-1/3であることが高校数学で習う余弦定理を使うことで得られます。

私たちが日常使っている用紙にも、意外な数学がひそんでいます。ぜひ実際に折りながら確認してみてください。

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