2022.02.22
# 数式 # 関数

半分に折ったり対角線を測ったり…コピー用紙にひそむ不思議な数学!

2月22日に考える「√2」の話
西来路 文朗,清水 健一 プロフィール

「A判」と「B判」の関係

次の図のように、B4判の長方形の長辺とA4判の長方形の対角線は、ピッタリ一致します。

【図】B4判長辺とA4判対角線はピッタリ一致

このことはB5判とA5判などでも同様です。そこに何か数学的に深い理由があるのではないかと期待してしまいますが、残念ながらそうではなく、単にA判とB判がこのような比率でつくられているからです。

A判はドイツで生まれ、1929年(昭和4年)に日本に導入されて日本の工業規格になりました。A0判から始まり、A0判は縦1189mm、横841mmで面積が約1m²です。このA0判を半分に折ったものがA1判、さらに半分に折ったものがA2判、……と続いていきます。

辺と対角線の比を検証してみる

一方のB判は、面積がA版の1.5倍になるように、同じく昭和4年に定められた規格です。B判の源流は江戸時代、公用紙に使われた美濃紙だということです。A判と同じように、B0判を半分に折ったものがB1判となり、以降同様にB2判、B3判、……と続いていきます。

A判とB判の面積の比が1:1.5なので、A判とB判の辺の比は1:√1.5になります【A】。一方、三平方の定理(【B】)より、A判もB判も用紙の短辺と長辺、対角線の長さの比は1:√2:√3になります【C】。

【図】B4判の長辺とA4判の対角線の長さ

このことから、B4判の長辺とA4判の対角線の長さが等しくなります。

109度28分の不思議

私たちが使っている用紙には、他にも不思議なことがあります。長方形に内接するひし形を考えると、その大きいほうの内角の大きさは、109度28分になっています。

【図】長方形に内接するひし形/その大きいほうの内角

そして、この109度28分という中途半端な角度が、なんと自然界にも存在していのです。

自然界に存在する109度28分

蜂の巣を思い浮かべてみてください。

蜂の巣の入り口は、正6角形になっています。そして、蜂の巣の奥は、ひし形が3つ組み合わさった形になっています。蜂はできるだけ少ない材料で巣の空間をつくるために、最大に効率の良い形で巣をつくっているのです。このひし形の大きいほうの内角を調べると、109度28分になっています。

【図】蜂の巣の奥は109度28分

そして、この109度28分という角度には、数学的にも面白い意味があります。

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