2021.08.28

【問題】「ベン図」で4つの集合は表せる? 表せない?

集合の意外と知らない不思議な雑学数学

ものの分類をするために使える発想でもある「集合」。今回は、数学においても重要な役割を果たす「集合」に関連した雑学数学を紹介しましょう。

色々な形のベン図

 集合の単元で出てくる「ベン図」、名前はピンとこなくても形を見れば思い出す人もいるのではないでしょうか。ベン図とはこのような図のことです。

図1

 数学好きにはおなじみの、集合について直感的に理解することができる表現手法ですね。名前の由来はイギリスの数学者ジョン・ベン (John Venn)によるもので、彼が考え出した表現手法とされています。

 上のベン図で基本をおさらいします。ある集合Aをたとえば「2の倍数」とし、集合Bを「3の倍数」としたとき、Aによって囲まれたところには「2の倍数」が含まれ、Bによって囲まれたところには「3の倍数」が含まれます。そして2つの円が重なった色が濃くなった領域には「2の倍数かつ3の倍数」、つまり「6の倍数」が含まれることになります。そしてAにもBにも囲まれていないところには「2の倍数でも3の倍数でもない数」が含まれることになるわけです。

 ではこのベン図、集合の数を増やしていくと不思議なことが起きるので、今回はその現象を紹介していくことにしましょう。

 まず、3つの集合を考えてベン図を作ると以下のようになります。

図2

 このように、先ほどの集合A、Bに加えて集合Cを考えます。集合Cを「5の倍数」とすると、中心でちょうど3つの集合が重なり合っているところは「30の倍数」ということになります。ここで、他の囲まれた領域がそれぞれどんな集合になっているかを考えると、以下のように書けます。

図3

 これを見ると3つの集合を考えることで、8つの数の分類がなされていることが分かります。これは、2の3乗=8というカラクリになっていて、”それぞれの集合の条件に「当てはまるか」「当てはまらないか」の2通りを3つの集合で考える”ことに相当するので、こうした数字が出てくることになります。

 さて、長かったですがここからが本題です。次に4つ目の集合を考えると、ベン図はどうなるのでしょうか? 同じように描いてみると、以下のような図になります。

図4

しかしこの図、実はよく見るとおかしなところがあります。どこがおかしいのか、分かるでしょうか?

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