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解決に2000年を要した難問も!3乗する数=立方数のふしぎな世界

8月23日を記念日にしませんか?

美しい公式

8月の「八」は末広がりです。8にちなんでどのような数学の世界が広がっているのでしょうか。

8は2の3乗です。3乗の数を立方数といいます。

1³, 2³, 3³, 4³, 5³, …

つまり

1, 8, 27, 64, 125, …

が立方数です。

立方数にもふしぎな世界がひろがっています。たとえば,

3³ + 4³ + 5³ = 6³

は,ピタゴラス数の公式

3² + 4² = 5²

に似て,とても美しい公式です。

残念ながら,3⁴+4⁴+5⁴+6⁴=7⁴ は成り立ちませんが,夢を見させてくれる素敵な公式です(私たちも夢を見ました!)。連続する4つの自然数でこのような立方数の関係があるのは,3, 4, 5, 6 の場合だけです。

 

立方数と平方数のふしぎな関係

立方数を順に足してみましょう。

1 = 1
1 + 8 = 9
1 + 8 + 27 = 36
1 + 8 + 27 + 64 = 100

ここにどのような法則があるでしょうか。

1 = 1², 9 = 3², 36 = 6², 100 = 10², …

すべて平方数になっています。

さらに,1, 3, 6, 10, … にも法則があります。

1 = 1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, … 

が成り立っています。まとめると,

1³+2³+3³+…+n³ = (1+2+3+…+n)²

となります。自然数 1, 2, 3, … の立方(3乗)の和と,自然数 1, 2, 3, …の和の平方(2乗)が結びついたとても美しい公式です。

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