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奇数もあるの?いまだ完全には解明できない「完全数」のふしぎな性質

「完全数の日」に楽しむ完全数の話

今日はなんの日?

「○○の日」という名前のついたいろいろな記念日があります。国民の祝日として定められている「成人の日」「こどもの日」などがありますし、語呂合わせで2月3日は「ふみの日」、4月6日の「城の日」など、たくさんの記念日が考えられています。

では、今日、6月28日はなんの記念日かご存じでしょうか。

この日は「パフェの日」とよばれています。プロ野球史上初めてパーフェクトゲーム(完全試合)を達成した日ですが、フランス語の「パルフェ」がパーフェクトという意味があるところから、英語読みの「パフェ」が広まり、「パフェの日」というようになったそうです。

しかし、6月28日はもうひとつ、「完全数の日」ともよばれています。こちらの呼び名はあまり知られていないかもしれません。数学的な意味合いからつけられていて、6と28がともに「完全数」とよばれる数であることに由来しています。

完全数のふしぎな性質

「完全数」とはどのような数でしょうか。

6の約数は、1, 2, 3, 6の4つです。1とその数自身はいつも約数として考えます。6の約数の中で、6自身を除いた約数を足してみると

1+2+3=6

となり、「自分自身を除いた約数を足すと、その数自身になっている」という特別な性質をもっています。このような性質をもった数を「完全数」といいます。

【図】完全数の説明 6の場合

6の次の完全数は28です。28の約数で自分自身を除いた数は1, 2, 4, 7, 14です。これらを足すと

1+2+4+7+14=28

となります。

【図】完全数の説明 28の場合

完全数のことを英語でパーフェクトナンバーといいますから、この意味でも6月28日は期せずして2つの「完全」が重なった日といえます。ここまでの詳しいことは2018年6月28日の記事〈発掘スクープ! 「パフェの日」に隠れた驚愕の秘話〉を見てください。

ここでは、完全数についてもう少し詳しく説明してみましょう。

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