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「ごはんの大盛」に潜む数学…茶碗の直径が2倍なら盛りは2倍? 4倍?

「単位」にまつわる不思議な雑学数学

日常のなかに潜む数学のひとつに「ごはんの大盛」がある、と言われると「?」と思う方も多いことでしょう。今回は、意識していないけど確かに数学の視点を取り入れると納得できる、そんな話を紹介しながら「単位」にまつわる不思議を解説していきます。

ごはんを2倍盛るにはどれくらいの器が必要?

「ごはんの大盛」という言葉に明確な定義はありませんが、もし「通常の量の2倍」と仮定するならば、どの程度の大きさの器を用意すればよいでしょう。

たとえば直径10cmの器にちょうど収まる量が「普通盛」としましょう。そのとき、2倍の量をちょうど収めるために必要な器の直径は直径20cmになるかというと、そんなことはありません。

単純化するために、円柱状の器で考えます。

直径を2倍にした場合
 

図を見てもらえれば一目瞭然ですが、器の直径を2倍にすると、あきらかに2倍以上の量が入りそうです。それもそのはず、器の高さを h cmとして容積を計算すると、

 5cm×5cm×π×h cm = 25πh cm³
10cm×10cm×π×h cm = 100πh cm³

となり、4倍の量が入るわけですから。

ちょうど2倍になる器の大きさは?

もし、器の高さが同じという条件のまま、ちゃんと容積が2倍になる器を考えるのならば、もとの器の√2倍の直径の大きさになる必要があります。上の例で考えた直径10cmの器の容積を2倍にするためには、

10√2 cm ≒ 14 cm

と、約14cmの半径でよいことになります。ちなみに、縦横高さすべて一定の倍率で大きくした器を考えるならば、3乗根ルート2(∛2)を考えればよいことになり、その値はおよそ

∛2≒1.26

となります。縦幅横幅ともに10cm、そして高さが5cmの器の容積を2倍にするには、縦幅横幅が12.6cm、そして高さが6.3cmあればよいのです。この情報だけだと真実味がないですが、図のイメージを添えると納得ができます。たしかに2倍くらいの量は入りそうなのが納得できるはずです。

縦横高さを1.26倍した容器

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