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三体問題が解けないことを証明したのは誰?…ポアンカレはいったい何を証明したのか

三体から生まれた「カオス」の発見

ポアンカレは「三体問題が解けないことを証明した」といわれます。しかし、「二体問題」の一般解を求める方法(「求積法」)では、「三体問題」の一般解を求めることができないということは1887年にドイツの天文学者ハインリヒ・ブルンスによって証明されていました。それではいったい、ポアンカレは何を証明したのでしょうか?

浅田秀樹さんの著書『三体問題』から、ポアンカレが証明した驚くべき事実をご紹介します。

ポアンカレの登場

ブルンスによる証明がなされた2年後の1889年、スウェーデン国王兼ノルウェー国王のオスカル2世の60歳の誕生日を祝うために、数学に関する懸賞問題が公表されました。

このオスカル2世の懸賞問題とは、厳密な数学的な定義・用語を避けて筆者なりに意訳すればおおよそ以下のようなものです。

“ニュートンの万有引力を受けるN個の天体を考え、それらが衝突しないことを仮定する。この場合に、各天体の位置座標を時間の関数として、その関数を任意の時刻で成り立つ級数展開した表現を見つけよ”

1887年の時点で、求積法では「三体問題」は解けないことが判明したので、厳密な関数の形でその一般解を求めることを、おそらく当時の数学者たちも断念したのでしょう。厳密な形を得ることが不可能なら、級数展開で求められないか、という具合に問題設定を変更したのです。

ここで「級数」とは、数あるいは関数などを足し上げて得られる量の和です。足し上げが無限に続く場合でも構いません。とくにその場合を「無限級数」とよぶことがあります。

級数の例としては、高校数学で登場する「数列」や大学数学で学ぶ「テイラー展開」などがあります。いずれにせよ、当時の国際的な懸賞問題に選ばれたことからも、「万有引力におけるN体問題」が科学界における重要な研究課題であったことが分かります。

懸賞課題に対する論文提出の締め切り日は1889年6月1日でした。締め切りの2週間前の5月17日、フランスの新進気鋭の数学者アンリ・ポアンカレが懸賞論文を提出しました。

彼の論文は、なんと懸賞課題の問題が誤っていることを示しているものでした。もし入学試験における数学の問題が誤っていれば社会事件として報道されます。多くの人にとって「数学の問題」に間違いは存在しないものだからです。このポアンカレの論文は、別の意味で科学界における大事件でした。一体、ポアンカレの論文の主張はどのようなものだったのでしょうか。

ポアンカレはその論文で、平面上の制限三体問題を考察しました。図1を見てください。ある物体の運動を実線で表し、点線はその運動に従う物体の位置を級数で展開し、有限個の級数で止めて表示したものです。

級数の個数を無限にする極限で、点線は実線に重なります。そして、どの時刻においても実線(元の関数)と点線(無限級数で表示したもの)が一致する状況を数学では「一様収束する」とよびます。このとき、ある点だけで一致するような場合は単に「収束する」とよびます。

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