正方形と正三角形でできる立体の展開図、すべて思い浮かべることができますか?

覚えて帰ろう〈雑学数学〉
横山 明日希 プロフィール

立方体の展開図は全部で何種類?

さて、先ほど触れた立方体の展開図の話ですが、ほかにもいろいろな形があるので紹介していきます。立方体の展開図は全部で11種類あります。

11種類の立方体の展開図

意外と多い! と感じる人も、そうでない人もいるかもしれません。それと同時に、どうやって11種類しかないことを示すことができるのか、気になる人もいることでしょう。少し、そこに踏み込んでいきます。

そもそも正方形6枚を使って作ることができる図形には「ヘキソミノ」という名前がついています。ヘキソミノは裏返したり回転したら重なるものも除くと全部で35種類あります。

35種類のヘキソミノ

このなかから、切り貼りすることなく立方体を作ることができるものを数えれば、その中のうち11種類のみが立方体を作ることができることがわかります。

この方法が確実ですが、もう1つ違うアプローチを試みてみましょう。

ペントミノを使ったアプローチ

ヘキソミノではなく、1つ正方形を減らしたペントミノを考えてみます。

12種類のペントミノ

ペントミノとなると、種類は12種類とヘキソミノと比べると種類はぐっと少なくなります。もちろん5個の正方形だけだと箱を作ることはできないのでこのままでは立方体の展開図の種類まで突き止めることはできませんが、その一歩手前の「1ヵ所だけ穴があいた箱」を組み立てることが可能です。

12種類のうち、図で黒線で描かれた8種類のペントミノは、穴の開いた箱を作ることができます。あとは、ふたとなる正方形をどうつけることが可能か、を考えていくことで、11種類の展開図を洗い出すことが可能となります。

別の種類のペントミノから同じ形の展開図が作れてしまうので重複をはじくのが少しややこしいところもあるかもしれませんが、ヘキソミノを35種類あげることより、ペントミノを12種類あげることのほうが比較的容易のため、この方法も紹介しました。

ほかにも、立方体の展開図として考えうる、一直線に並ぶ正方形の数の上限が「4個」であることを制約条件としてあと2個をどうつけるか、という考え方でも11種類の特定していくこともできます。

一直線に4個並ぶ場合を調べたあとは一直線に3個並ぶ場合、2個並ぶ場合と考えていけば見つけることが可能です。どの方法が考えやすいか、人によって異なるかもしれませんが、ぜひ自分でも調べてみて下さい。

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