「素数の魔方陣」に「積の魔方陣」…未解決問題も残る数学パズルの奥深い世界

天才数学者オイラーも魅了した数の神秘

本連載では、数のマジックやパズルをいくつか紹介してきました。今回の記事は、有名なパズルのひとつである「魔方陣」を題材に、その魅力を紹介していきます。

一度は見たことがあるのでは? 魔方陣の基本形

魔方陣のことを言葉で説明するのならば「n×n個の正方形それぞれに数字を配置し、縦・横・対角線それぞれの列の数字の合計がすべて同じになるもの」のことです。

言葉で説明するより、図をご覧になれば、これは見たことある! となるはずです。

縦・横・斜め、どの向きで足し算をしても15になります。この例は魔方陣の基本形といっても過言ではありません。今回はこの魔方陣に関連する数学的な性質に加えて、形や数の異なるさまざまな魔方陣も紹介もしていきます。

まずは3×3の魔方陣の作り方から。正解の形を知っていればもちろん作ることができるのですが、順番を暗記せずとも計算で求めることが可能です。

まず、縦か横かどちらでもいいので1つの向きに注目します。すると、以下の2点をいうことができます。

(1)A列の合計+B列の合計+C列の合計は、マスに入るすべての数の和になる
(2)A列、B列、C列ともに合計の数は同じ

(1)からわかることは、マスに入るすべての数の和は、1から9まで数の和なので、A列とB列とC列の数を足したら45になるということ。

そして、(2)からそれぞれの列の和が15になることもわかります。

この時点で3つの数を足して15になるような組み合わせを洗い出し、試行錯誤していくことで魔方陣を完成させることもできますが、ここでさらにもう一段階考察を深めてみましょう。

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