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【数学間違い探し】6人を2つのグループに分ける場合の数は31通り⁉

考える力が身につく「数学間違い探し」

本年1月から開始した月1回の「数学間違い探し」の連載は幅広い読者から読まれているようで、心から感謝の意を表す。連載の背景や狙いは第1回、第2回に述べた通りである。毎回、初級、中級、上級の3題の「間違い探し」問題から構成し、問題の後で詳しい解説をすることは同じである。

初級問題

【問1】 ここにA、B、C、D、E、Fの6人がいる。6人を2つのグループに分ける場合の数(分け方の数)はいくつになるか。ただし、0人というグループは認めない。

この問題を見たA君は、以下のように考えた。A君の考えが正しければ「正しい」と答え、間違っていれば訂正して正しい答えを書きなさい。

2つのグループに分けるとき、それらの人数は次の3つが考えられる。

(ア)1人と5人の場合
(イ)2人と4人の場合
(ウ)3人と3人の場合

そこで、(ア)、(イ)、(ウ)それぞれについて、何通りあるかを求めよう。

(ア)の場合は以下の6通りがある。

1つがAで、もう1つがA以外の人達
1つがBで、もう1つがB以外の人達
 ……
1つがFで、もう1つがF以外の人達

(イ)の場合については、2人のグループの選び方がいくつあるかを調べてみる。それは、以下の15通りがある。

AとB、 AとC、 AとD、 AとE、 AとF、
BとC、 BとD、 BとE、 BとF、
CとD、 CとE、 CとF、 
DとE、 DとF、
EとF。

(ウ)の場合は、(ア)や(イ)と同じように求めると間違ってしまうことに気付く。それは、「AとBとCが1つのグループで、もう1つがその他の人達」と「DとEとFが1つのグループで、もう1つがその他の人達」の2つの選び方は同じだからである。

要するに、そこを引っ掛けようとしている問題であることに注意すると、(ウ)の場合は以下の10通りがある(左側にAが入るグループを列挙)。

1つがAとBとC、もう1つがDとEとF、
1つがAとBとD、もう1つがCとEとF、
1つがAとBとE、もう1つがCとDとF、
1つがAとBとF、もう1つがCとDとE、
1つがAとCとD、もう1つがBとEとF、
1つがAとCとE、もう1つがBとDとF、
1つがAとCとF、もう1つがBとDとE、
1つがAとDとE、もう1つがBとCとF、
1つがAとDとF、もう1つがBとCとE、
1つがAとEとF、もう1つがBとCとD。

以上から

6人を2つのグループに分ける場合の数=6+15+10=31(通り)

となる。

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