Illustration by FoxysGraphic/iStock

秘密のカギは「7」にあり! 奇跡の数「142857」の謎を解く

「おどろきの巡回」はなぜ起こるのか?

「不思議な現象」を発見したら

以前に私たちが執筆した〈奇跡の数「142857」に隠された神秘を知っていますか〉という記事で、1~6をかけると6つの数 1, 4, 2, 8, 5, 7 が巡回する奇跡の数「142857」についてご紹介しました。

142857×1 = 142857
142857×3 = 428571
142857×2 = 285714
142857×6 = 857142
142857×4 = 571428
142857×5 = 714285

142857 が順番を変えずに巡回しています。どうしてこのようなことが起こるのでしょう。その理由を考えてみましょう。

数学の探求は不思議な現象を発見することから始まります。そして、不思議な現象を数式で表し、理由を予想します

ここでは、142857 を3倍すると数字が左に1つずつ巡回して 428571 になる現象(142857×3 = 428571)の謎解きをしながら、数学の考え方を紹介しましょう。

数を1つ左に動かすには、10倍するとよいです。

142857×10 = 1428570

しかし、1428570 の先頭の を最後尾に移動しないと、42857にはなりません。とりあえず、

1428570-1000000+= 428571

と書くことにします。すると、問題は

1428570-1000000+1 = 428571 = 142857×3

が成り立つ理由になります。

どうしてでしょうか。142857 に関係しているはずです。

秘密のカギが見つかった!

この式を見ると,左辺の 1428570 も中央の 428571 も、142857の倍数です。すると、-1000000+1 も 142857 の倍数になるはずです。計算すると、

1000000-1 = 999999 = 142857×7

になり、確かに、142857 の倍数になっています。

そこで、142857 に着目して、式を整理してみましょう。142857 を 428571 に巡回することは、式で表すと

1428570-(1000000-1)

でしたが、

142857×10-142857×7

に変形されます。10-7 = 3 だから、さらに

142857×3

に変形されます。 142857 を 428571 に巡回することと、142857 を3倍することは同じ答えになります。

1000000-1 = 142857×7

が秘密のカギのようです。

関連記事