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8だけ抜いた魔法の数「012345679」が起こす奇跡

こんなに面白い現象がなぜ起こる?
「数学」というと難しい印象ですが、「数で遊ぶ」のは誰でも楽しめる知的エンターテインメントです。数の世界の楽しさと美しさを描いた『美しすぎる「数」の世界』(講談社ブルーバックス)の著者・清水健一さんと、『素数が奏でる物語』『素数はめぐる』『有限の中の無限』(同じく講談社ブルーバックス)など、清水さんとの共著を発表してきた西来路文朗さんの「数マスター」コンビが、またまた面白い数について教えてくださいました!

「かける数」と「消える数」のふしぎな関係

以前の記事で、1~6をかけると6つの数1, 4, 2, 8, 5, 7が巡回する奇跡の数「142857」についてご紹介しました。じつは、その他にも、単純なかけ算でふしぎなふるまいを見せてくれる数があります。

012345679

という数が、興味深い性質をもっています。これは8を除く0から9までを並べた数です。この数に、2, 4, 5をかけてみましょう。

012345679 × 2 = 024691358
012345679 × 4 = 049382716
012345679 × 5 = 061728395

このかけ算で、どのようなことが起こっているでしょうか。かけ算した結果、現れる数は0から9までの数のうち、1つの数だけが消えています。2倍すると7が消え、4倍すると5が消え、5倍すると4が消えています。

こんどは少しかける数を大きくして、11, 13, 14をかけてみましょう。

012345679 × 11 = 135802469
012345679 × 13 = 160493827
012345679 × 14 = 172839506

このかけ算では、11倍で7が消え、13倍で5が消え、14倍で4が消えています。

「かける数」と「消える数」の和に注目すると…?

かける数と消える数に何か関係があるのでしょうか。かける数と消える数を並べてみると

2 … 7
4 … 5
5 … 4
11 … 7
13 … 5
14 … 4

となっています。

かける数が2, 4, 5のときは、かける数と消える数の和は9になっています。
かける数が11, 13, 14のときは、かける数と消える数の和は18になっています。

では、18より大きい数、19や20をかけると、かける数と消える数の和は27になるのでしょうか。

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