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京大の入試がすごい!自分で得点を決められる伝説の数学問題がこちら

一見、楽しそうな問題だが…
好評発売中の『やじうま入試数学』より、今回は数式の答えが自分の得点になるというユニークな入試問題を紹介します。

自分で得点を決められる問題?

自分の得点を自分で決められるというのだから、一見、実に楽しそうな問題だ。

「わたしの好きな自然数は100です。100点ください」となるのならいいのだが、g(n)を求めなければならないところがアヤシイ。いったい、どんな仕掛けになっているのだろうか。ともかく問題を解いてみよう。

(1)ではn^7を7で割った余りがnを7で割った余りと等しいことを示せ、と言っている。

この証明、かなりややこしいことになる。(modを使ったすっきりとした証明はブルーバックス『やじうま入試数学』で解説しています。)

とにかくn^7-nが7の倍数であることを示すため、これを因数分解して、7k、7k+1、…を代入していけば、何か見えてくるかもしれない。

n^7-nを因数分解する。

A = n^7-n
 = n(n^6-1)
 = n(n^3+1)(n^3-1)
 = n(n+1)(n^2-n+1)(n-1)(n^2+n+1)

kを整数とすると、

n=7kのとき、Aは7の倍数。

n=7k+1のとき、n-1=7k+1-1=7kなので、Aは7の倍数。

n=7k+2のとき、n^2+n+1=49k^2+35k+7=7(7k^2+5k+1)なので、Aは7の倍数。

以下同様にしてn=7k+6までを代入してAが7の倍数になることを確かめれば、n^7-nが7の倍数であることが示せる。

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