「SEND+MORE=MONEY」この数学パズルが解けますか?

感激の図形パズルもご紹介!
横山 明日希 プロフィール

デュードニーの三角形の設計図と証明

そして実は、作り方は意外とシンプルです。まず、正三角形の2つの辺の中点と、のこりの1辺を約0.5:1:0.5(より正確には下の図の値、0.509…:1:0.4901…)の比で分けた点をとります。あとはそれぞれの点を繋いだり、その繋いだ線に垂線をおろすことで、簡単にデュードニーの三角形を作ることができるのです。

なぜこれで正方形に変形できるのか、という証明はやや複雑になります。正三角形の面積をこの与えられた数値で計算すると底辺が2で高さがルート3なので面積はルート3であることがわかります。変形しているだけで面積は同じなので、できあがる正方形の1辺の長さはルート3にさらにルートをとった、3の4乗根となるわけです。

ここで変形していく様子と分割する図を見比べてみると、底辺から右上に向かって伸びている赤い点線が、正方形の2ヵ所の辺に変形されているのがわかります。つまりこの斜線の長さが3の4乗根となっていることを説明できれば、証明の大部分が完了したことになります。これ以上は説明を省略しますが、ぜひ気になる方は計算をしてみて下さい。

 

五角形から長方形の変形も可能

さて、今紹介したデュードニーの三角形のように一見不思議な切り方をして綺麗な形が作れるというパズル、他にもないのだろうか、という疑問を持った人も少なくはないはずです。筆者も同じような疑問を持ち、調べていくなかで少し似たものも見つけたので最後に紹介しておきましょう。それは、「正五角形から長方形ができる」パズルです。

これまた作り方は非常にシンプルで、正五角形の対角線と垂線をおろす作業だけ作ることができます。変形すると、このように。 

模型製作:よしだしんや

よくこのようなパズルを思いついたものだ、と感心します。頭のなかで成立する様子をイメージするだけではもったいないのでぜひ一度手元で並べ替えて、実際に変形できることを確かめてみてください。