2020.12.02
# 数式

中学入試の問題「5、9、13、□、21」□に入る数はなに?

この問題の「正解」を考えてみる
金 重明 プロフィール

問題の答えは

(1)はそれぞれの差をとってみると4になっているので、等差数列だと思われる。だから13に4を足した17が正解なのだろう。17に4を足すとたしかに21になる。

(2)は前の数に1/4をかけたものになっている。等比数列と考えれば、答えは16だ。

(3)は、3+5=8、5+8=13、8+13=21となっているので、フィボナッチ数列ではないか、と思える。すると次は13+21=34で、こたえは34だ。その次は21+34=55となるので、最後の数もぴったり、ということになる。

試験場では多くの受験生が正解したはずだ。

しかし、これでいいのだろうか。

問題には「それぞれある規則性にもとづいて数が並んでいます」としか書かれていない。等差数列、等比数列、フィボナッチ数列とは記されていないのだから、ほかの数列でもかまわないのではないか。

たとえば(1)は、実はこれだけで等差数列と決めつけるわけにはいかない。これを関数と考え、

f(1)=5、f(2)=9、f(3)=13、f(5)=21

としてグラフを描くと、図1のようになる。

4つの点が一直線上に並んでいるので、このグラフを見れば直線で結びたくなるのが人情だ。

しかし、この4つの点を通る関数は直線だけではなく、無限に存在する。4のところにどんな数を持ってきても、その5点を通る関数を定めることはできるのだ。たとえば4次関数なら、その5点を通る関数がひとつだけ定まる。

具体的にやってみよう。横軸の4のところが5だと考える。

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