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6本の缶を最短の紐で束ねる意外な方法とは?円と球の不思議な雑学

円周角の法則はサッカーにも役に立つ

様々な図形のなかで、「円」は異質な存在です。

四角形、三角形などと同じように子どものころから馴染み深い存在ですが、その周りの長さや面積を求めるためには「円周率」という概念を捉える必要があります。

また、そのシンプルな見た目とは裏腹に、数式で表すとx2+y2=r2(rは半径)という複雑な形になる曲者でもあります。

今回はこの円にスポットをあてた雑学数学を紹介していきます

「円周角の定理」は意外と使える?

円の公式の代表的なものといえば、面積や円周を求める以下の2つです。

円の面積=半径×半径×円周率
円周=直径×円周率

(円周率についての雑学はこちらの記事でも紹介しています)

これらの公式は小学校のときに学びます。一方、中学数学で登場するのが「円周角の定理」です。

この定理は「円周に2点ABをとり弧ABを考え、その弧AB上にない点Pをとって3点APBでできる角APB(=円周角)の角度は、Pの位置に関係なく一定である」というものです。また、同じ弧によってできる中心角(=中心をOとしたときの角AOB)は円周角の2倍になる、という性質もあります。

点Pの位置をいろいろと変えていっても角度が変わらないというのは、少し直感に反する性質かもしれません。ですが、この性質への納得感が深まる、円周角に関連した話をひとつ紹介しましょう。

どこから蹴るのが一番ゴールになりやすい?

その話の舞台はサッカーです。サッカーゴールにボールを蹴るとき、以下の5つの地点で状況はどう変わるでしょうか。

Eのほうがゴールから遠く、D、C、B、Aとゴールとの距離は短くなります。それだけを考えるとAが最もゴールに入れやすいように感じるかもしれませんが、実はCのほうが入れやすい可能性があります。それは、以下のように円を描くことで理解できるはずです。

これで、先ほど説明した円周角の定理を使うことができます。弧FGを考えると、赤い円上のどの点をとってもその点とFGで作られる角は、角FCGと同じ角になります。

しかしながら、C以外の4つの点はすべて円周の外側にあります。この場合、角FAGやFEGは円周角よりも小さい角度になるのです。つまり、サッカーでゴールに向かって蹴るとき、ゴールに入れることができる角度が一番大きいのはCということです。

そして、同じ角度となる場所は、上の図の円周上となります。コーナーキックで直接ゴールを狙うことの難しさがここからも伝わってきますね。

もちろんゴールまでの距離でいうとAのほうが近く、実際には、キーパーやディフェンスなどもいるので、この話はあくまでも角度という観点のみで評価した場合ということはお忘れなく。