○×ゲームで絶対に負けない方法、教えます

「じゃんけん」も数学的に考察
横山 明日希 プロフィール

「〇×ゲーム」の謎

さて、続いては、こちらも誰もが遊んだことがあるであろう、「〇×ゲーム」を取り上げていきましょう。

別名「三目並べ」と言われるこのゲーム、ルールはシンプルで「〇」と「×」を3×3マスの格子に交互に書いていき、先に1列揃えたら勝ち、というものです。

西洋が発祥のゲームですが、少なくとも100年前には日本でも遊ばれています。

ゲームの分類のなかでは「二人零和有限確定完全情報ゲーム」とも呼ばれるもので、平たくいうとプレイヤーは2人、ランダム性がなく、全ての情報がプレイヤーに公開されている、有限回数で終わるゲームのこと。

すごろくはこのなかで「確定」の要素がないゲーム、じゃんけんは相手が何の手を出すかの情報がない「非完全情報」のゲームであると説明すれば、「二人零和有限確定完全情報ゲーム」がどういうものかわかるかと思います。

この分類にあてはまるゲームは、両プレイヤーが最善手を尽くせば必ず「先手必勝」か「後手必勝」か「引き分け」かが決まるという特徴があります。

 

では、〇×ゲームはこの3つのうちどれにあてはまるのでしょうか? なんとなく「先手必勝」のような印象を持っている人が多いかもしれませんが……。実際に先手後手で最善策をとった場合どうなるのか、少し分析してみましょう。

まず、1手目の先手の〇の置く場所を考えます。1手目を置くときに空いているマスは9マスありますが、格子を反転および回転させて重なる位置は同じとみなせるので、「真ん中」「角」「壁」の3種類のみ考えればよいことがわかります。

それぞれの図で点線の○の位置に置いたものは実線の○の位置に置いたのと同じことになる

そして、2手目以降はこの3通りそれぞれの場合について考えていけばよいのです。

では、先手の〇が真ん中に置いたときの場合を考えてみましょう。

真ん中に〇を置いた場合の×の置ける位置は、「角」と「壁」の2種のみです。もし2手目で×が壁においた場合、〇の最善手は以下のようになります。

次に×を置いたとしても、点線の〇のどちらか片方しか防ぐことはできない

この状態までくると、あと1つ〇を置けば揃う列が2列できています。×はどちらか片方の列しか防ぐことができないため、○の勝利が確定します。

一方、2手目で×を角に置いた場合はどうなるでしょうか。実は、それ以降、〇をどこに置いたとしても、×が最善手を続けていけば、引き分けになります。(これに関しては実際に書き出して試して頂ければ実感できると思います。実際に書き出してみた様子は記事の最後におまけページをご覧ください。)

つまり、1手目で〇が真ん中に置いた場合、2手目で×は角を置くことで、引き分けに持ち込むことができます。〇×ゲームで1手目を真ん中に置くことが勝利への近道かと思いきや、両者ともに〇×ゲームを知り尽くしている場合、結局引き分けになってしまうのです。

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