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○×ゲームで絶対に負けない方法、教えます

「じゃんけん」も数学的に考察
「ゲーム」という単語にワクワクしない人はきっといないでしょう。

日本語の「ゲーム」には「遊び」という意味も含まれているため、1人で楽しむゲーム、対決ゲーム、ボードゲーム、そしてコンピュータゲームなど、非常に幅広い遊びが「ゲーム」という言葉で表されます。

今回の記事では、そのなかでも古典的なゲームとして「じゃんけん」と「○×ゲーム」を紹介し、そこに数学的視点を加えて分析をしていきます。
 

【雑学41】じゃんけんの分析

原始的なゲームといえば、じゃんけんです。これまでに何十回、何百回とやってきたであろうこのゲーム。最大のポイントは、それぞれの手の強さが平等であることでしょう。

illustration by DMacks CC BY-SA 3.0

総当たり戦をすれば、グー、チョキ、パーの3手ともに、1勝1敗となります。このような状態を「3すくみ」といいますが、この3すくみを崩そうとするとどうなるのでしょうか。

実は、フランスやドイツのじゃんけんには4つの手が存在します。グー、チョキ、パーは同じ手の形ですが、「井戸」とよばれる別の手の形が存在するのです。

それぞれの強さの関係性をまとめると、

 井戸 :グーとチョキに勝つ
 グー :チョキに勝つ
 チョキ:パーに勝つ
 パー :グーと井戸に勝つ

ということになります。

illustration by DMacks 

ここで気づく方もいるかもしれませんが、グーと井戸を比較すると、グーの必要性がないことがわかります。

グーはチョキにしか勝てないのに対して、井戸はチョキに加えてグーにも勝てます。ということは、グーを出す必要がなくなり、結果として井戸、パー、チョキの3つの手のみが優先的に出されることになります。

そして、その3つの手だけで見ると「3すくみ」になっています。極論を言えば、この「4つの手のじゃんけん」は、グーの手が井戸の手に変わっただけの普通のじゃんけんにすぎないのです。

この問題を解決するためにはどうすればいいのか。実は、手の数が奇数種類あることで「〇すくみ」を実現することができます。

この図のような勝敗の関係にすることで、すべての手の強さが平等となります。さて、拡張することができたとしても、このようなじゃんけんの拡張に意味はあるのでしょうか。

実は、あいこになる確率が減る、という利点があります。たとえば2人でじゃんけんする場合、出される手の種類は5×5の25通り。25通りのうちあいことなるのは5通りだけなので、あいこになる確率が1/5です。一方、3つの手のじゃんけんを2人でする場合は、あいこになる確率は1/3です。

このような利点があるにもかかわらず、5つの手のじゃんけんが浸透しなかったのは手数が多いと覚えにくいし、瞬時に勝ち負けを判定しにくいからでしょうか。こう分析してみると、もう少し5つの手のじゃんけんに市民権があってもいい気がしてくるものです。