全米が大混乱した「モンティ・ホール問題」これがスッキリ解く方法だ

3つの扉から1つ選ぶのに確率が2倍?
横山 明日希 プロフィール

つまり、先生は金曜日に抜き打ちテストをやらない、ということがわかります。

ということで、残りの可能性のある曜日は月曜、火曜、水曜、木曜と絞られます。

続いて木曜日に抜き打ちテストが行われると仮定したら、水曜日の授業が終わるまでテストが行われません。

ただ、その時点で生徒は、金曜日にテストをしないことがわかっているので、木曜日に抜き打ちテストが行われることに気づき、またもや抜き打ちテストではなくなります。

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同じように水曜日に抜き打ちテストがあると仮定したら火曜日の時点で生徒は気づいてしまい、火曜日に抜き打ちテストがあると仮定すると月曜日の時点で生徒は気づいてしまい……ということになり、最終的には「先生は抜き打ちテストを行うことができない」という結論になってしまいます。

この問題、「抜き打ちテストを行う」といったものの「抜き打ちテストが行われることがない」というパラドックスでまとめられそうですが、実はもうひとつ展開があります。

先ほどの分析により生徒は「抜き打ちテストが行われることがない」と安心しているということで、逆に先生はいつでも抜き打ちテストを行うことができてしまうのです。結局は先生の発言のとおりの展開になってしまいました。

1つ1つ分析していくと、途中で二転三転しました。さて、この話はどのように捉えることで混乱を避けることができるのでしょうか。実は、これは先生の発言を信じるか信じないかで状況が変わってくるのです。

もし、先生の話を信じない場合は「来週平日中に予期できるテストは行われない」という考えになります。

しかし、そう考えていることである日テストが行われたら、そのテストは「予期できなかったテスト」となり、生徒からしたら抜き打ちテストを受けることになった、と言えます。

一方、先生の話を信じた場合は「来週平日中に予期できないテストが行われる」ということになりますが、先ほどの金曜日に行われると仮定したときの論理展開に従って考えると「どの曜日でも予期できてしまう」ので、つまりは「来週平日中に予期できないテストは行われない」ということにもなります。この、

「来週平日中に予期できないテストが行われる」

「来週平日中に予期できないテストは行われない」

の2つの結論が、同時に導かれていることが混乱してしまう要因なのです。なぜなら、この2つはあきらかに同時に起きない出来事だからです。

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このように、2つの同時に起きてはいけないことが並んでしまうような主張や定義を作ってしまうと、パラドックスが起きてしまいます。

こういったパラドックスをどう捉えるかを考えるうえで、数学的な視点が役立つことは、先ほどの分析の仕方で体感いただけたかと思います。逆に、数学者はこういう矛盾を避けるような定義や公理を組み合わせて数学の分野を創り上げている、という視点もあります。

直感的に受け入れがたい事象があったときも、どういう要素が組み合わさって受け入れがたいものになっているか、しっかりと向き合っていくことで、その事象がおかしなものであったとしてもなぜおかしいのか、わかりやすく整理することができます。

今回取り上げた2つのパラドックスを通して、このことを感じていただけたのならありがたいです。

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