全米が大混乱した「モンティ・ホール問題」これがスッキリ解く方法だ

3つの扉から1つ選ぶのに確率が2倍?
横山 明日希 プロフィール

どちらが当たりやすいかの結論を出すために、少し極端な例を挟んだ説明の仕方を試みていきましょう。

問題は3つのドアの場合でしたが、ドアの数を10個に増やしてみて、先ほどと同様の状況を作っていきましょう。


プレイヤーの前に閉じた10個のドアがあります。1つのドアの後ろには当たりである「新車」があり、9個のドアの後ろには、はずれである「ヤギ」がいます。当たりを選べれば「新車」が手に入ります。

プレイヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうち「ヤギ」がいるドアを8個開けてしまいます。つまり、10個のドアは

・プレイヤーが選択したドアが1つ

・司会者が開けた「ヤギ」がいるドアが8個

・残っている開けられていないドアが1つ

という状態になりました。

ここでプレイヤーは、以下の2択のどちらかを選びます。

・最初に選んだドアをそのまま選ぶ

・残っている開けられていないドアを選びなおす

さて、どちらを選べばいいでしょう?


【図】ドアの数を10個に増やしたら?ドアの数を10個に増やした場合

さて、先ほどと状況がどう異なるでしょうか。

それは、司会が9個残ったドアのうち8個を一気に開け1個だけ残す、ということ。次々とドアが開けられていくと、残された1個のドアがなにかと異様な存在に見えてきますよね。

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その残された1個のドアの奥に新車があることが確定しているわけではありませんが、はじめに選んだドアの奥に新車がある確率よりも、あきらかに高い確率になりそうです。

では、具体的にどれくらいの確率なのでしょうか。

・最初に選んだドアをそのまま選ぶ

という選択は、よくよく考えてみれば、選んだあとの司会者の行動などはいっさい関係なく、最初に10個のドアのうち1個だけ選んだ、という行為にしか過ぎません。つまり、これで当たる確率は1/10ということが言えます。

そして、

・残っている開けられていないドアを選びなおす

という選択は、9個の選択肢を1個の選択肢に絞っている状況、つまり、先ほどの1/10の確率以外の9/10で当たる確率を、1個のドアに集約している、と考えることができます。

したがって、選びなおした場合の当たる確率は9/10になります。

 

1/10と9/10ということで、選びなおしたほうが9倍当たりやすいのです。