なぜ成り立つの!? 超絶「美しい式」を華麗に導く数学マジック!

16と50と33、3乗して足してみて
横山 明日希 プロフィール

では、足してみましょう。すると

\begin{equation}
\begin{split}
&\left\{\frac{1}{6}(10^n-4)\right\}^3+\left(\frac{10^n}{2}\right)^3+\left\{\frac{1}{3}(10^n-1)\right\}^3\\
\\
&=\frac{1}{216}(10^{3n}-12\times10^{2n}+48\times10^n-64)+\frac{1}{8}\times10^{3n}\\
\\
&\quad+\frac{1}{27}(10^{3n}+3\times10^{2n}+3\times10^n-1)\\
\\
&=\frac{1}{6}\times10^{3n}-\frac{1}{6}\times10^{2n}+\frac{1}{3}\times10^n-\frac{1}{3}\\
\\
&=\frac{1}{6}10^{3n}-\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right)\times10^{2n}+\frac{1}{3}\times10^n-\frac{1}{3}\\
\\
&=10^{2n}\left\{\frac{1}{6}(10^n-4)\right\}+10^n\left(\frac{1}{2}\times10^n\right)+\frac{1}{3}(10^n-1)\\
\\
&=10^{2n}a+10^nb+c\\
\end{split}
\end{equation}

このように変形することができました。最後の「\(10^{2n}a+10^nb+c\)」は、まさに「3乗を除いた数字を順に並べた数」を表しております。

少し難しい証明となってしまったかもしれませんが、美しい数式が成り立つ裏側を考えるのも非常に面白いもので、ぜひとも皆様にも考えて頂きたいです。

Illust by Getty Images

ということで最後にいくつか美しい数式を紹介しておきましょう。

\begin{align*} 0\times9+1&=1\\ 1\times9+2&=11\\ 12\times9+3&=111\\ 123\times9+4&=1111\\ 1234\times9+5&=11111\\ 12345\times9+6&=111111\\ 123456\times9+7&=1111111\\ 1234567\times9+8&=11111111\\ 12345678\times9+9&=111111111\\ 123456789\times9+10&=1111111111\\ \end{align*}

1つ目はこのような数式。この数式はこれ以降続くわけではないですが、この10列すべて同じ説明の仕方で数式が成り立つことを説明することができます。

\begin{align*} 1\color{red}{\times}1&\color{blue}{=}1\\ 11\color{red}{\times}11&\color{blue}{=}121\\ 111\color{red}{\times}111&\color{blue}{=}12321\\ 1111\color{red}{\times}1111&\color{blue}{=}1234321\\ 11111\color{red}{\times}11111&\color{blue}{=}123454321\\ 111111\color{red}{\times}111111&\color{blue}{=}12345654321\\ 1111111\color{red}{\times}1111111&\color{blue}{=}1234567654321\\ 11111111\color{red}{\times}11111111&\color{blue}{=}123456787654321\\ 111111111\color{red}{\times}111111111&\color{blue}{=}12345678987654321\\ \end{align*}

ちなみに冒頭に紹介したオイラーの等式はこちら。

\[ e^{i\pi}+1=0 \]

今回紹介した数式とまた異なる美しさを持つ数式なのがこのオイラーの等式。この数式の魅力の紹介はまたいつか別の機会にできたらと思います。

 

いくつかの数式を紹介しました。もっとも美しいと感じた式はどれでしたか?

今回紹介していない数式にも、面白いものがまだまだあります。ぜひ、お気に入りの数式を見つけてみてくださいね。

【横山明日希の「覚えて帰ろう〈雑学数学〉」バックナンバーはこちら】