なぜ成り立つの!? 超絶「美しい式」を華麗に導く数学マジック!

16と50と33、3乗して足してみて
横山 明日希 プロフィール

ちなみにこの数式は拡張することができて、

という数式をつくることもできます!

1を除いた自然数の並びでも、同じように数式が作れてしまうのです。3から始めて作ることもできるので、ぜひ気になった方はその数式を作ってみて下さい。

【雑学32】なぜ成立? もっと不思議な数式

雑学31で紹介した数式は「自然数の並び」から作った数式で、もちろん不思議ではあるもののなんとなく受け入れやすい式だったのではないでしょうか。

次は、「なぜその並びで成り立つの?」という数式をご紹介します。

その数式とはこちら!

\[1^3+5^3+3^3=153\]

\[16^3+50^3+33^3=165033\]

\[166^3+500^3+333^3=166500333\]

\[1666^3+5000^3+3333^3=166650003333\]

\[16666^3+50000^3+33333^3=166665000033333\]

この数式も、雑学31で紹介した数式と同じく、この先も続けることができる数式です。

左辺は3つの数からできており、1列目は1と5と3を3乗して足し合わせています。2列目以降は、

(1の後に6を並べた数の3乗)+(5の後に0を並べた数の3乗)+(3だけを並べた数の3乗)

となっています。

 

すると、それが3乗する前の数字を順に並べた数(右辺)と等しくなる、という数式。

本当に成り立つのか、ぜひ一度計算してみてください。この数式の不思議さと美しさをより実感できるはずです。

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とはいえ、これが成り立つ理由はどうも直感的に想像がつかないと思います。ですが、ちゃんと証明することができるのです。

ここで活用する数学は「数列」の一般式です。

累乗を除いた左辺の1番左の数にだけに注目した数列は

1、16、166、1666……

となり、第n項の数をaとおくと、

\[a=\frac{1}{6}(10^n-4)\]

と表すことができます。

2番目の数に注目した数列は

5、50、500、5000……

となり、第n項の数をbとおくと、

\[b=\frac{10^n}{2}\]

です。3番目の数に注目した数列は

3、33、333、3333……

となり、第n項の数をcとおくと、

\[c=\frac{1}{3}(10^n-1)\]

となります。この3つのそれぞれ3乗を足すことで、右辺と同じになることが示せればOKということになります。