「ガロア理論」を本気で学ぶための、1時間でわかる離散数学の基礎

本稿では、離散数学とガロア理論の接点となるような話題を紹介しよう。

きちんとした証明は拙著を参照いただくとして、この記事では「読み物」風にガロア理論を理解するために必要なキーワードを紹介していく。

正五角形で「写像」と「群」を理解する

まず、「正五角形をそれ自身に移す移動（合同変換）は全部で何個あるか」という問題を考えてみる。

動かさないものも1つの移動と考えると、下図のように全部で10個ある。

これらの移動は以下のように10個の写像として表現できる。

\[ e = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array} \right) \ \ \ a_1 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \end{array} \right)\\ a_2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \end{array} \right) \ \ \ a_3 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right)\\ a_4 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right) \ \ \ a_5 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{array} \right)\\ a_6 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4 \end{array} \right) \ \ \ a_7 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} \right)\\ a_8 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 5 & 4 & 3 \end{array} \right) \ \ \ a_9 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 5 \end{array} \right)\\ \]

それぞれの写像\(e, a_1, a_2, \cdots ,a_9\)の意味は、上段に並んだ各数字の頂点それぞれを真下の数字の頂点に移すことである。

たとえば、写像\(a_1\)で表される移動は、頂点１を頂点２の場所へ、頂点２を頂点３の場所へ、頂点３を頂点４の場所へ、頂点４を頂点５の場所へ、頂点５を頂点１の場所へ移動させる。

いま、上の10個の写像からなる集合を \[G=\{e, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9\} \] とおく。

さらに、写像の合成を「\(*\)」で表すことにする。

写像の合成とは、たとえば\(a_2*a_5\)で説明すると、\(a_5\)の移動を先におこなって、次に\(a_2\)の移動をおこなうことである。

具体的には、次のようになる。 \[a_2*a_5 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \end{array} \right)*\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{array} \right) \\ = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4 \end{array} \right) = a_6 \]上の計算を説明すると、

3、4、5についても同様に考えると、\(a_2*a_5\)は\(a_6\)と一致する。

写像の合成をこのように定義しておくと、\(G\)は次の①～④の性質をもつことが分かる。

一般に上の①～④を満たす集合\(G\)と演算\(*\)があるとき、「\(G\)は\(*\)に関して群である」という。したがって、正五角形の合同変換全体は元の個数が10個の群である。