二次方程式が「図形」で解ける!? 「x」発明前の数学に挑戦しよう

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横山 明日希 プロフィール

方程式といわれて想像するものは、

x+1=5

といった、未知数“x”を使った「式」のことのはず。そして、その解法はたとえば、両辺から1を引いて

x+1-1=5-1

x=4

というように解くというものになるでしょう。

もちろん昔からこのような考え方は使われていましたが、実は今とは違った方法も使われていました。

その方法とは「図形的」に解釈する方法。

紀元前3世紀に数学者ユークリッドが手がけた『原論』という本では、二次方程式を解く上で図形的手法を利用しています。そもそもこの時代には未知数を「x」と記す習慣はなく、

ある数の平方に8を足した数が、もとの数の6倍に等しい。ある数とは何か。

といった表現で問題を記述していました。

現在の方程式の書き方をすると

x2+8=6x

となり、二次方程式のことを指していることがわかります。

では、上記のような問題を図形的に解く方法を説明していきましょう。

 

この方法は、9世紀に書かれた数学書には記録されており、少なくともこの時代にはこうのような解法が編み出されていたことがわかります。

ある数の平方ということで、ある数をxとおきます。xの平方を図にするということで、1辺がxで面積がx2の正方形を描くことができます。そして、それに8を足した数ということで、面積が8の長方形を正方形の横に並べます。

そして、正方形と長方形を合わせた面積と等しい値になるのが、ある数xを6倍にした6xということで、正方形と長方形を合わせた横長の長方形の横の長さが6ということがわかります。これで、二次方程式x2+8=6xを図にすることができました。

ここから、方程式を図形を利用して解いていきましょう。