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数学者を感動させた大学生の「鮮やかすぎる証明」はこうして生まれた

当たり前の事実を納得するために
当たり前のことを、絶対に疑いようのないことを使って説明する、それが「証明」。数学と証明とは切っても切り離せない関係にあります。

今回ご紹介するのは、数学が苦手な人でもわかる「鮮やかな証明」。学生時代に証明が大好きだった人も、証明という言葉を聞いただけでアレルギー反応が出てしまう人も、頭の体操がてら「証明」の奥深い世界に触れてみませんか?

数学者にとっては空気のようなもの

証明という言葉から、みなさんは何を感じ、どんなことを考えるのだろうか。

証明と聞いただけで、かつての学校数学のつらさを思い出し蕁麻疹が出る、という「アレルギー持ち」の人もいるかもしれない。逆に、平面幾何の論証が好きだった人なら、わくわくするような魅力を感じるかもしれない。

いずれにしても、証明という言葉と数学とは、切っても切れない関係にあるようだ。ブルバキという著名な数学者集団も、「数学とはすなわち証明である」(ブルバキ著、前原昭二ほか訳、『数学原論 集合論』、東京図書)という有名な言葉を書いている。

もちろん、数学を専門に学び、研究する人間にとっては、証明は日常の研究生活の中にごく自然に「ある」ものだ。数学者にとって、証明は空気のようなものといえる。だから、普段の仕事の中で、こと改めて証明とは何だろうと考えることはほとんどない。

しかし、そんな数学者でも、初めて証明の面白さに接したのはいつだったのか、それはどんな証明だったのかを思い出すことはある。その自分の経験を、今現在数学を学び、証明を学んでいる子どもたちや学生たちに語りかけることは、数学の裾野を広げる役に立つに違いない。実際、何人かの数学者がそんな経験を語っている。

そこで、ささやかではあるが、私自身の経験を少し紹介しようと思う。

見れば当たり前だけど……

今の中学校の数学では、「対頂角が等しい」ことを生徒に証明させることはないようだ。私自身も、この事実の証明を中学校で学んだかどうか、記憶が曖昧だが、高校で学んだことは鮮明に覚えている。

同じ角xを足すと180度になる2つの角αとβは等しい(図1)。これは当たり前の事実のようだが、高校生だった私は、その証明に感動した。見れば当たり前のことでも、数学では証明しなければいけないという、数学の精神の根幹にかかわることを初めて目にした瞬間だった。

のちにある数学者から、この事実は、直線がその上の任意の点について点対称であるということに基づいていると聞かされ、再度納得したものだ。

使われているのは、「等しい量から等しい量を引いた残りの量は等しい」という原理である。

「なるほど」な補助線

対頂角が等しいことの証明では、補助線は必要ない。しかし、初等幾何学の魅力の多くは、補助線の発見に依存している。これは、単なる演繹論理では説明がつかない、勘と経験による発見の魅力である。