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二等辺三角形の底角は本当に等しいのか? ひと筋縄ではいかない証明

定理にいたる道は狭く、険しい
「『二等辺三角形の2つの底角の大きさは等しい』なんて、常識じゃないの?」と思っている方は多いと思います。でも、それ「きちんと」証明できますか?

一見簡単そうに見える数学の証明でも、厳密にやろうとするととても高度な数学を使わなければならないことがあります。今回は、中学レベルの「証明」を通して「なぜ数学には証明が必要なのか」という謎に迫っていきます!

二等辺三角形の底角定理

みなさんは「二等辺三角形の底角定理」(あるいは、たんに「底角定理」)をご記憶だろうか? 中学生時代に数学で学習したはずだ。

底角定理:
図1のようにAB=ACである△ABCにおいて、∠Bと∠Cの大きさは等しい。すなわち、どんな二等辺三角形でも、その底角は等しい。
図1 二等辺三角形の底角定理
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ただこれだけのことだ。「底角定理」という名前は覚えていなかったかもしれないが、その内容は「常識」として知っていたのではないだろうか。

では、この常識は正しいだろうか? もちろん、疑いの余地なく正しい。だって、中学2年生が持たされる数学の教科書にそう書いてある。

とはいえ、教科書に書いてあるから正しいとか、みんながそう言っているから正しい、と考えるのはいやだ、という人もいるだろう。本当に底角定理が正しいことを納得したい、という人はもうすこしお付き合いください。

実際に測ってみたらいいじゃない?

こんな方法で確かめるのはどうだろう? 二等辺三角形を描いてみて、分度器で底角の大きさを測ってくらべてみる。測った結果、2つの底角の大きさが等しければ、底角定理は正しい。

──と思いたいところだが、ちょっと待ってほしい。二等辺三角形はあなたが描いたものだけではなく、無限のバリエーションが存在する。実際に測ってみるという方法では、あなたが描いた二等辺三角形で底角が等しいことは確認できても、「すべての」二等辺三角形で底角定理が正しいことを示したことにはならない。無限に存在する二等辺三角形の底角を測って比較し尽くすなど、人間には(いや計算機にだって)不可能だ。

というわけで、この方法は忘れてしまおう。きっと、もっといい確かめ方があるはずだ。

ここで、中学数学で学習した大事な言葉をもうひとつ思い出してほしい。「証明」というやつだ。証明とはなにかというと、

疑う余地のないことがら(公理)を根拠にして、あることがらが成り立つことを示すこと

だ。公理から出発して、正しい論理を積み重ねていくことで新しい事実に到達する。この証明というプロセスは、数学において非常に重要である。

数学では、あることがらが「疑いの余地なく正しい」とされるには、「証明」を経る必要がある。底角定理はどうやら正しいらしいので、すでに証明されているにちがいない。おっと、この証明も中学数学の教科書に書いてある。

底角定理の証明(中学数学バージョン)

というわけで、中学校で学習しているはずの底角定理の証明を、ここで復習しよう。

AB=ACである△ABCを考える(図2)。∠Bと∠Cが等しいことを、証明したい。

図2 二等辺三角形ABC
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2つの角が等しいことを示したいときの常套手段は、「合同」だ。合同な図形の対応する角の大きさや辺の長さは等しい。今回もこの性質を使おう。つまり、∠Bと∠Cが合同な図形の対応する角であることを示せば、∠B=∠Cといえる。

しかし、与えられている図形は△ABCひとつだけ。このままでは合同を使えない。

図形がひとつしかないなら、2つにすればいいじゃない。そう、この図に1本直線を引くだけで、2つの合同な三角形が現れる。引くべき直線は、図3のような頂角(∠A)の二等分線(AD)だ。

図3 二等辺三角形の頂角を二等分する直線を引く
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ところで、三角形の合同条件をご記憶だろうか? これも中学校で学習したはずだ。せっかくなので、復習しておこう。