「円周率の日」に数字を無限に並べて計算してみたら…美しい!

無限の彼方をどう計算するか
鈴木 毅 プロフィール

2-2.二乗しても変わらない無限桁の数

√2 = 1.41421356…のように、数字が不規則に出てくる無限桁の数をつくりましょう。二乗して2になるのではなく、二乗しても変わらない数(元と同じになる数)を考えます。

まず、…000000000001、…000000000000のようなあまり面白くない例はすぐわかります。1と0は二乗しても元と同じ数になりますね。この2つはここで忘れます。

一桁ずつ計算してみましょう。一桁目が二乗しても変わらないのは、0と1以外に、5や6があります。5×5=25、6×6=36というわけで、一桁目は変わらず5と6のままですね。

では、二桁の数字で二乗しても二桁目まで変わらない数字は何があるのでしょうか。5の場合で考えてみます。

下2桁

途中で気づきましたが、下二桁はすべて「25」ですね。つまり、25は二乗しても下二桁が25で元の数と同じです。では次に三桁で同じことをしてみます。

下3桁

これも途中で気づきましたが、下三桁はすべて「625」です。625は二乗しても下三桁は「625」と元の数と同じです。

この先を求めるのは簡単そうですね。次のようになります。

…918212890625

本当に二乗して同じになるかどうか筆算してみましょう。皆さんもやってみてください。

2乗して同じになるか

同じになりましたよ!

では、下一桁が6の場合もやってみます。これを求める計算は読者の皆さんでやってみてください。結果は下のようになります。

…081787109376

これで2つの無限桁の数が作れました。

…918212890625
…081787109376

この数には実は、次のような面白い性質があります。

無理数

ぜひ皆さんの手でも計算して確かめてみてください。きっと感動します!