夜空に浮かぶ月の大きさを「5円玉で簡単に測定」できる方法があった

新連載「覚えて帰ろう〈雑学数学〉」
横山 明日希 プロフィール

【雑学2】A4とB4、面積の比率を瞬時に算出!

続いて紹介する数学ネタも同じように手を動かしながら楽しめるものです。今度はA4とB4サイズの用紙をご用意ください。

A4とB4サイズの用紙、大きさはB4サイズのほうが大きいことは、2つの用紙を重ねてみることで理解できると思います。さて、では、A4とB4の用紙、これらの大きさの比、つまりは面積比はどの程度になるでしょうか。少し考えてみてください。

一番単純に考えられる方法として、それぞれの用紙のサイズを測って面積を求めることもできますね。実際にサイズを測ってみると、A4サイズの用紙は210mm×297mm、B4サイズの用紙は257mm×364mmとなります。

たしかにこれでだいたい求めることはできますが、それではちょっと面白みがなくなってしまいます。この計算方法での結果はいったん置いておいて、これからエレガントな求め方をご紹介しましょう。

A4サイズの用紙の対角線と、B4サイズの用紙の長い辺を合わせてみてください。すると、なんとぴったり長さが合います! この事実から、A4サイズとB4サイズの用紙の面積比を求めることができます。図にすると、このようになりますね。

たしかに重なっています!

さて、この図から面積比を求めてみましょう。


通常の規格の用紙は縦横の辺の比が√2:1になっていますので、A4サイズの用紙の横の長さを1とすると、縦の長さが√2になります。

三平方の定理より、対角線の長さが√3であることがわかります。そして、このA4用紙の対角線の長さがB4用紙の縦の長さになるので、横の長さは√3/√2になります。

これにより、以下の図のような長さの関係であることがわかります。

本文の「√」は「ルート」のことですよ!

これで、それぞれの用紙の面積を求めることができます。A4サイズは√2、B4サイズは3√2/2となり、面積の倍率を求めるとA4サイズの3/2倍がB4サイズであるということが求められました。

つまり、つねに面積比は1:1.5です。

この話で注意が1つありまして、A4サイズとB4サイズだからこの図で説明ができる、ということです。

ほかのサイズ、たとえばA4サイズとB5サイズだと、このように合わせることはできません。

A4サイズとB5サイズの面積比は、先ほどのA4サイズとB4サイズの比から計算することができます。B4サイズの半分のサイズがB5サイズなので、面積比は1:0.75となります。

これを整数比に直すと2:1.5となり、A4サイズとB4サイズの面積比とは異なる比になります。

A4サイズとB4サイズ、A5サイズとB5サイズ、といったように同じ数字の規格であればこの方法が使えますので、もしご友人の前で披露する場合はお間違えのないように。

さて、今回は身近な道具を使った数学のお話を2つほど紹介しました。いかがでしたでしょうか。ほかにも、私たちの身のまわりの道具には数学の話が潜んでいます。

この連載でもどんどん紹介していきますので、楽しみにしていてください。

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