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円と楕円のあいだには深い溝がある〜自然に潜む数学の真理!

松下泰雄『曲線の秘密』

円、楕円、双曲線、放物線、サイクロイド……
世界は曲線で溢れている!

「自然は曲線を創り人間は直線を創る」

湯川秀樹博士の有名な言葉があるように自然や宇宙を知ろうとするとき、きまって曲線が現れます。

本書のガイドとなってくれるキーワードは「円から楕円へ」です。「太陽系とケプラーの3法則」「ガリレオの円弧振り子からホイヘンスの振り子時計へ」「周長問題から微積分へ」「ピタゴラスの定理からフェルマーの最終定理へ」を中心に、数理の目で見る曲線の秘密に迫ります。

はじめに

曲線について、語ってみたいという気持ちが長いことありましたが、ここにようやく一つの形にすることができました。また、高等学校で微積分を学び始めた人たちへの贈り物として、ちょっとした副読本となるものを書きたいという気持ちも強くあって、温めていたものでもあります。

曲線を題名に掲げてはいますが、曲線を広く解説するような読み物ではありません。自然界に溢れている曲線、生活のなかに多々ある曲線、芸術の世界に現れる曲線などありますが、数学や物理学において現れる、すなわち数理の目で見る曲線について見ていきます。

円Photo by Raphael Schaller on Unsplash

そのとき、やはり入り口は、曲線の基本である円ということになるでしょう。そして、円をちょっと変形すると楕円となります。この円から楕円にほんのちょっと踏み出すだけで、2000年に亘る宇宙論の変遷を語ることになります。

ところで、円周は直径に円周率を掛けるだけで計算できますが、どんなに変形が小さくても楕円になったとたん、周長は簡単に計算することはできません。楕円積分というものに頼らなくてはならないのです。一方、代数学においてはよく知られているピタゴラスの定理は、円を使ってよく理解することができます。一方、ピタゴラスの定理を一般化した有名なフェルマーの最終定理の証明には、楕円曲線という曲線が登場します。ここでも円から楕円への踏みだしがありますね。

円と楕円の間に、いったいどんなことが潜んでいるんだろうなどと考えてみると、あまり知られていなかった面白いからくりが見えてきます。そんなことから、いろいろな曲線に拡げて考えてみるのではなく、円から楕円へとほんの一歩踏みだしただけの、その一歩の中にどれほどのからくりが詰まっているのかを一緒に覗いてみませんか。