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ブルーバックス

奇跡の数「142857」に隠された神秘を知っていますか

こんなに面白い現象があった

こんなに面白い現象があったのか!

簡単な四則演算で数の神秘を味わいながら、「1÷素数」が描き出す定理と法則を探訪する。初等整数論への新しいアプローチ!

ふしぎなふるまいを見せる6桁の数字

ここに、ふしぎなふるまいを見せる6桁の数字があります。「142857」という何気ない自然数が、単純なかけ算で、面白い現象を見せてくれるのです。

142857に、1、2、3、4、5、6を順にかけてみます。

 142857 × 1 = 142857

 142857 × 2 = 285714

 142857 × 3 = 428571

 142857 × 4 = 571428

 142857 × 5 = 714285

 142857 × 6 = 857142

この計算で、どのようなことが起こっているでしょうか。

それぞれの積には1、4、2、8、5、7の6つの数字しか出てきていません。かけ算をする順序を変えて、

 142857 × 1 = 142857

 142857 × 3 = 428571

 142857 × 2 = 285714

 142857 × 6 = 857142

 142857 × 4 = 571428

 142857 × 5 = 714285

と並べ替えてみましょう。鮮やかに規則性が浮かび上がります。

142857を順序を変えずに巡回させると6通りの数になりますが、その6通りの数がすべて現れています。この142857の正体は何でしょうか。そして、なぜこのようなことが起こるのでしょうか。

142857には、さらにふしぎなことがあります。こんどは、142857を142と857に2等分して足してみましょう。

 142 + 857 = 999

と答えに9が並びます。

142857に、2、3、4、5、6をかけてできた数でも、同じ現象が起こります。

 285 + 714 = 999

 428 + 571 = 999

 571 + 428 = 999

 714 + 285 = 999

 857 + 142 = 999

と、すべて和が 999 になっています。

なぜこのようなことが起こるのでしょうか。

こんどは、142857を14と28と57に3等分して足してみましょう。

 14 + 28 + 57 = 99

と和に9が並びます。

さらに、142857を1、4、2、8、5、7に6等分して足してみましょう。9になるでしょうか。

 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27

となって、残念ながら9にはなりません。自然数を6個も足すのですから、9にならないのは自然なことかもしれません。しかし、この足し算をもう1回繰り返し、27の各位の数を足すと、

 2 + 7 = 9

となります。142857の6等分も9に関係しています。

なぜこのようなことが起こるのでしょうか。

これらの疑問を出発点として、数のふしぎな世界を探求してみましょう。

著者 西来路文朗(さいらいじ・ふみお)
1969年、広島県生まれ。大阪大学大学院理学研究科博士課程数学専攻単位取得退学。博士(理学)。専門は整数論。賢明女子学院中学校・高等学校の教諭を経て、現在、広島国際大学工学部住環境デザイン学科教授、広島大学非常勤講師。著書に『Liberal Arts 基礎数学』(京都廣川書店、青木宏光氏との共著)。

著者 清水健一(しみず・けんいち)
1948年、兵庫県生まれ。岡山大学理学部数学科卒業。博士(理学)。専門は整数論。賢明女子学院中学校・高等学校の教諭を経て、現在、岡山大学、岡山理科大学非常勤講師。著書に『大学入試問題で語る数論の世界』(講談社ブルーバックス)、『詩で語る数論の世界』(プレアデス出版)がある。

二人の共著による前著『素数が奏でる物語』(講談社ブルーバックス)も好評。
素数はめぐる
循環小数で語る数論の世界

西来路文朗=著
清水健一=著

発行年月日: 2017/02/20
ページ数: 240
シリーズ通巻番号: B2003

定価:本体  920円(税別)

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(前書きおよび著者情報は初版刊行時点のものです)