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対称性をはかる数学『群論入門』

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群論の世界を視覚的に捉える!

 あみだくじ、正多面体、正多角形、15ゲーム、駐車場の移動問題を通して、集合や写像の考え方を学ぶ。

 さらに、ガロアの群論の基礎をなす5次交代群とオイラーの「36人士官の問題」に遡りながら、群によってあぶりだされる対称性の性質や特徴を垣間見ていく。

はじめに

 群の歴史は,方程式の研究に遡る。1変数のn次方程式の解法について, nが2の場合は既に古代パピロニアで知られていた。nが3の場合はカルダノ(1501年~1576年)の方法として後世に伝わっており,またnが4の場合はフェラリ(1522年~1565年)が発見している。ラグランジュ(1736年~1813年)は,根(解)の置換という観点からnが2, 3, 4の場合の解法を基にしてnが一般の場合を研究しそれがルフィニ(1765年~1822年),アーベル(1802年~1829年)による5次方程式の解法の不可能性,そしてガロア(1811年~1832年)によるガロア群の研究へと発展したのである。

 方程式論の立場からラグランジュが行った研究では,後に広く知られるようになった「ラグランジュの定理」(5章1節)の端緒となる結果を発見しそれが群論の始まりとなった。それだけに,文字の置換の辺りから群論を学ぶことは歴史的にも自然な流れだ、と言えよう。本書の予備知識は,微分積分や統計などを除く高校数学として,上記の立場から群論の初歩を一歩ずつ学ぶ書として完成させたものである。

 1章では,置換を視覚的に理解するあみだくじの性質を学ぶ前に集合や写像などの基礎的な用語をいくつか学ぶ。それは将棋の世界に例えると.駒の動かし方を頭に入れるところだと理解していただければ適当だろう。すなわち,そこで現れる用語は最初にきちんと理解しておけば.本書は全体的にかなり読みやすくなるはずである。

 群の定義に関する詳しい説明は2章と3章で行うが,整数全体に足し算という演算を考えたもの,あるいは1つの正六角形をそれ自身に重ねる合同変換全体を考えたもの,それらは群の例になる。群は, 1つの集合とそこで定められる1つの演算に関して,結合法則が成り立ち,単位元というものが存在し各元に対して逆元というものが存在するものである。

 たとえば,上の整数全休の集合については, 0が単位元で,整数mの逆元は-mである。また上の正六角形の合同変換全体の集合については,単位元は全く動かさない変換で,各合同変換fの逆元は,fを逆に戻す合同変換である,といった具合だ。このように群は,素朴なものだけに応用は様々な分野に及ぶ。

 37年間にわたって,大学でいろいろな数学の講義を担当してきた経験として,私は次のような教訓を得た。それは,微分積分の学びでは多様な計算練習を積んだ後から理論をしっかり学ぶ方法も悪くないが,群論を含む代数学の学びについては,最初から理論を一歩ずつ積み上げて学んでいく方法が適切だということである。

 ただ,そこにおいて注意すべきことは,抽象的な議論を進める上では,登場するいくつかの公理が意味する幅広い具体例を大切にしなくてはならない,ということである。そこで本書は,とにかく例を大切にして「群論の基本」を学ぶものであるが,その例に関しては視覚的に捉えられる正多角形や正多面体,あるいは文字の移動に関する様々なゲームを用いている。

 そのような学び方は,数学以外の分野への群論の応用を視野に入れても適当であると考える。たとえば,化学における分子の対称性を学ぶとき,回転や鏡面での反射などの用語が現れるが,それらに繋がる図形の合同変換などの概念を先に学ぶことになるからである。また自然科学以外でも,比較言語学の研究にも対称群などの対称性の強い群が用いられていることも指摘しておきたい。