『知性を鍛える大学の教養数学』
∑、lim、dy/dx、∫ydx編
佐藤恒雄=著

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記号を通して数学を本質から理解する、
数学の再入門に最適の一冊。

 数学は現代を生きる人に欠かせない教養の一つ。その数学を理解する鍵となるのが、∑、lim、dy/dx、∫ydxといった記号たち。こうした記号には、無限をどう扱うのか、空間をどう表現するのか、面積や体積をどう求めるのかといった数学の思想や原理が込められています。難解にみえる記号は、複雑で抽象的な問題を誰もが同じく扱えるように、問題の本質を見抜いて作られたものなのです。

はじめに

■17世紀中頃ドイツに生まれ普遍的天才と呼ばれたライプニッツはイギリスのニュートンと同時代に生まれ,同時期に微積分学を結晶化させました。

 ニュートンの創造した微積分学は,内容はまったくライプニッツのものと同じであったにも拘らず,評価されたのは英国内にとどまりました。一方,ライプニッツの微積分学は当時から,広くヨーロッパの数学者に採用され,その学問は強く支持されました。そして,現在数学の教科書で用いられている微積分学は,そのほとんどがライプニッツの手によるものです。

 どうして,これほどまでに差がついてしまったのでしょうか。

 ニュートンは,絶対時間と変化の視点に立ち,ライプニッツは,無限小とその働きを記号の中に求めていきました。

 ライプニッツの夢は,すべてのものを記号化するという《普遍的記号法》でした。これが,数学の原理として,数学を途方もなく発展させることになったのです。それは,思想を記号化したからです。

 この本の記号は,ほとんど,ライプニッツの発明によるものです。ライブニッツの記号化は,物事の本質を見抜き出し簡略化をすすめた歴史であり,数学の進歩は簡略化の発明をともなってきました。

 それは同時に,記号を理解し活用することを,数学を学ぶ者に要求しているのです。記号を理解し,自由に使えるようになることで,数学の学習に役立つ知性が磨かれるのです。

 記号の意味を理解し,その応用をマスターすれば,数学は楽しい実りを誰にも約束してくれるものです。大学の教養数学にはこうしたエッセンスが凝縮されているのです。

 本書の第1章では, Σによって数列の和の単純化と簡略化を図ります。第2章では, limによって,極限移行という無限小化の演算を定義しています。第3章でdy/dxによって,関数の増減を接線の傾きによって測るという前代未聞の発想を記号化しています。第4章では∫ydxがdy/dxと逆演算という表裏の関係にあることを突き止め,積分の計算に到ります。そして第5章で扱う定積分の計算はケプラーがワインの樽の体積測定からヒントを得て,一般図形の面積計算を理論化したことに始まります。これによって,曲線に囲まれた図形の面積は曲線が関数表示できれば,その面積を求めることが可能になったのです。

 以上の本書の流れから,「微分積分学の誕生とその応用」の歴史的な経緯を,垣間見ることで,いわゆる微分積分の構造が理解できるでしょう。そして,これらの偉大な知の発見は,16~18世紀のヨーロッパの叡智の結晶といえます。それを,感じ取っていただければ幸いです。

■ここで,数学の学習の仕方を考えてみます。

 記号の意味を理解ししっかり応用できるように,本書には問題を豊富に載せています。本文中の例題を読んで,類題が一人で解けるかどうかを試してみてください。このとき例題の答えを模倣して解けるならば,きちんと理解していると考えてよいでしょう。本書では類題として,そのような問題を選んでいます。

 しかし一般の問題は類題と異なり,このように単純ではなく,もっと複雑で難しいものです。発展問題,応用問題などと続き,思考を深める問題が多いものです。そのような問題を解く場合のことを考えてみます。問題を解くためにはいくつかの手順を踏んでいます。それは,問題に出会ってから,

①問題文を読んで,その内容を理解する
②問題の題意を読み替える
③解答に向かって目標を立てる
④式を変形したり,計算したりして解答をまとめる

という4つの行動です。では,これらの手順を追っていくには何が必要でしょうか。

 まず, ①ですが,「問題の構造を分析して正しくとらえる」「定義・定理・公式を正しく思い出す(記号や術語の定義をきっちり復元する)」「条件を正しく把握する」ことが必要です。本書の狙いも,まさに記号の定義を復元することにあります。

 次に, ②には,「視点を変えて,自分で理解できる言葉で言い換える」「式や等式を関数に翻訳し,グラフを書いて題意を視覚化する」「図や表をつかいこなす」これらの力が必要です。

 そして,③には,「問題の内容を論理的に展開できる力」「類似問題を連想し,利用する力」「一般化された式を具体化して様子を見る力」が必要です。
 終わりに④には,「手法を選択できる力」「目標に向かって具体的に展開できる力」「設問を活用していく力(段階的に考えるヒントになります)」が必要です。

 つまり,問題全体の流れを見極める力があってこそ,4つの行動が可能なのです。問題を,ある場合は大局的にとらえ,ある場合は局所的におさえて,遂行力(計算力ともいえます)を発揮することが大切です。それと同時に,個々の設問の意図を考え,そこから解決のヒントを得ることも大切です。ぜひ,これらのことを意識しながら,本書を読んでみてください。

■本書ができ上がるまでに,多くの方々のご協力とご教示がありました。特に,原稿の内容に理解を示され,出版に尽力してくださった講談社ブルーパックス出版部部長の小澤久氏,本書の内容の検討に精力的に関わってくださった能川佳子氏,そして多忙の中,初校から内容の検討および,問題の解答の校正まで協力してくださった元同僚の宮本育子先生,これらの方々には大変お世話になりました。心から感謝の意を表したいと思っております。

著者  佐藤恒雄(さとう・つねお) 
一九三五年福島県白河市に生まれる。千葉大学文理学部卒業。東京工業大学理学部研究生となり、母校の助教授を経て、理学部教授。二〇〇一年に退官。千葉大学名誉教授。専門は複素解析学で、代数型函数の値分布論の研究によって博士号を取得。傍ら、数学教育にも関心を持ち、偏差値に代わる数学の新しい評価法(ヒューレ値)を研究開発する。著書に『大人のための算数練習帳』シリーズ、『史上最強の実践数学公式123』(以上、ブルーバックス)他、学習参考書、受験参考書など多数。
『知性を鍛える大学の教養数学』
∑、lim、dy/dx、∫ydx編

著者:佐藤恒雄

発行年月日:2014/06/20
ページ数:272
シリーズ通巻番号:B1870

定価:本体980円(税別)
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(前書きおよび著者情報は初版刊行時点のものです)